Question

如圖，平行四邊形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD⊥平面ADEF，AD=2AB，P為BC的中點，M在AF上且AM=2MF，DP交AC與N點．
（1）求證：MN∥平面BCEF；
（2）若四邊形ABCD為矩形，且AF=AB，求DM與平面MAP所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)CF，由已知得MN∥∥CF，由此能證明MN∥平面BCEF．
（2）取AD的中點為O，取EF的中點為Q，以O(shè)P，OA，OQ為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出DM與平面MAP所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：連結(jié)CF，
∵PC∥AD，
∴

CN

NA

=

PC

AD

=

1

2

，
∴

FM

MA

=

CN

NA

，
∴MN∥CF，
又MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．

（2）解：由題意，取AD的中點為O，取EF的中點為Q，
以O(shè)P，OA，OQ為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)AB=3，AM=2，則A（0，3，0），
M（0，3，2），P（3，0，0），D（0，-3，0），

MA

=(0，0，-2)，

MP

=(3，-3，-2)，

DM

=（0，6，2），
設(shè)平面MAP的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • MA =-2z=0 n • MP =3x-3y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，0），
設(shè)DM與平面MAP所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DM

，

n

＞|=|

6

2 • 40

|=

3 5

10

，
∴DM與平面MAP所成角的正弦值為

3 5

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．