Question

19．已知{a_n}是各項均為正數(shù)的數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₅-3b₂=7.2a${\;}_{n}^{2}$+（2-a_n+1）a_n-a_n+1=0（n∈N^*）
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_nb_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用$2a_n^2+（2-{a_{n+1}}）{a_n}-{a_{n+1}}=0$得：a_n+1（a_n+1）=2a_n（a_n+1）．根據(jù){a_n}的各項都為正數(shù)，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$．再利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．再利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由$2a_n^2+（2-{a_{n+1}}）{a_n}-{a_{n+1}}=0$得：a_n+1（a_n+1）=2a_n（a_n+1）．
∵因為{a_n}的各項都為正數(shù)，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$．
故{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
因此數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
設數(shù)列{b_n}的公差為d，由a₅-3b₂=7，b₁=1得d=2，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2n-1，n∈N^*．
（2）由（1）知c_n=（2n-1）•2^n-1，設{c_n}的前n項和為S_n，
則S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
上述兩式相減，得
-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ
=-（2n-3）×2ⁿ-3，
所以S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，n∈N^*．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．