Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-1，x∈R，若f′（a）=-3．
（1）求曲線y=f（x）在點M（a，f（a））處的切線方程；
（2）設(shè)P、Q是曲線y=f（x）上兩點，直線PQ的斜率為k，求證：k＞-3．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，由條件可得a=1，即有切線的斜率和切點坐標，運用點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（2）設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），運用直線的斜率公式，即證$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+3＞0，即為$\frac{f（{x}_{2}）+3{x}_{2}-[f（{x}_{1}）+3{x}_{1}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，設(shè)F（x）=f（x）+3x，即證F（x）在R上遞增．求得F（x）的導數(shù)，判斷符號，可得單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²-1的導數(shù)為f′（x）=3x²-6x，
由f′（a）=-3，可得3a²-6a=-3，解得a=1，
則曲線y=f（x）在點M（1，-3）處的切線斜率為-3，
可得曲線y=f（x）在點M（1，-3）處的切線方程為y+3=-3（x-1），
即為y=-3x；
（2）證明：設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），
則k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
要證k＞-3，即證$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+3＞0，
即為$\frac{f（{x}_{2}）+3{x}_{2}-[f（{x}_{1}）+3{x}_{1}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，
設(shè)F（x）=f（x）+3x，即證F（x）在R上遞增．
由F（x）=f（x）+3x=x³-3x²+3x-1，
可得F′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
即有F（x）在R上遞增．
則k＞-3得證．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)性的判斷，考查構(gòu)造函數(shù)法，以及直線的斜率公式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．