Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）若PA=AD，求證：EF⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PD的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，F(xiàn)H，證明FH

∥

.

EA，可證四邊形EAHF是平行四邊形，從而可得EF∥AH，由于AH?平面PAD，EF?平面PAD，即可證明EF∥平面PAD．
（2）先證明AH⊥PD，由題意再證明CD⊥平面PAD，可得AH⊥CD，即證明AH⊥平面PCD，又EF∥AH，即可證明EF⊥平面PCD．

解答： （本題滿分14分）
證明：（1）如圖，取PD的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，F(xiàn)H，
∵F是PC的中點(diǎn)，∴FH

∥

.

1

2

CD，
又四邊形ABCD是矩形且E為BA的中點(diǎn)，
∴EA

∥

.

1

2

CD，
∴FH

∥

.

EA，即四邊形EAHF是平行四邊形．
∴EF∥AH，由于AH?平面PAD，EF?平面PAD．
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA=AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，故AH⊥PD，
由題意，CD⊥AD，CD⊥PA，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，故AH⊥CD．
又∵PD∩CD=D
∴AH⊥平面PCD，又EF∥AH，
∴EF⊥平面PCD．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查．