Question

4．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，對角線AC與BD交于點O，M為OC中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥PM
（Ⅱ）若二面角O-PM-D的正切值為2$\sqrt{6}$，求$\frac{PA}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定，先證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BD⊥PM．
（Ⅱ）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值為2$\sqrt{6}$，即可求出$\frac{PA}{AD}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又PM?平面PAC，
∴BD⊥PM．
（Ⅱ）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，
因為DO⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，
所以∠OHD為A-PM-D的平面角，
設(shè)PA=b，AD=4，
∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=120°，
∴OD=2$\sqrt{3}$，OM=1，AM=3，且$\frac{OH}{OM}$=$\frac{AP}{PM}$，
從而OH=$\frac{OM•AP}{PM}$=$\frac{1•b}{\sqrt{^{2}+\frac{9}{4}}}$=$\frac{2b}{\sqrt{4^{2}+9}}$，
∴tan∠OHD=$\frac{OD}{OH}$=$\frac{\sqrt{3（16^{2}+36）}}{2b}$，
所以16b²=144，解得b=3．（舍負(fù)值）
∴PA的長為3．
則$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．