Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2f（x-2），x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$
（1）求函數(shù)f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）若方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，分別求出0≤x≤2以及2≤x≤4時(shí)f（x）的解析式，
即可寫出f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）和y=x+a的圖象，利用y=f（x）和y=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2f（x-2），x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|；
∴函數(shù)f（x）在[-2，4]上的解析式為
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2-2|x-1|，x∈（0，2]}\\{4-4|x-3|，x∈（2，4]}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知，f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4；
設(shè)y=f（x）和y=x+a，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，
等價(jià)為函數(shù)y=f（x）和y=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
作出函數(shù)f（x）和y=x+a的圖象，如圖所示：
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）時(shí)，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x-2，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，兩個(gè)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，4）和C（1，2）時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=1或-2＜a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的應(yīng)用問題，是綜合性題目．