Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（cosβ，sinβ），將向量$\overrightarrow{OA}$繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到向量$\overrightarrow{OB}$（0＜θ＜90°），則下列說法不正確的是（　�。�

• A． |$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OB}$|＞|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|
• B． |$\overrightarrow{AB}$|＜$\sqrt{2}$
• C． |$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|
• D． （$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）⊥（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）

Answer 1

分析 以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，利用平面向量線性運算的幾何意義和三角形，菱形知識進(jìn)行判斷．

解答 解：以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB則AB=|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|，
∵OA+OB＞AB，∴|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OB}$|＞|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，故A正確．
∵OA=OB=1，∠AOB＜90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OB•cos∠AOB}$=$\sqrt{2-2cos∠AOB}$$＜\sqrt{2}$，故B正確．
∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=${\overrightarrow{OA}}^{2}$+${\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|²=${\overrightarrow{OA}}^{2}$+${\overrightarrow{OB}}^{2}$-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≠|(zhì)$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．故C錯誤．
∵OA=OB，∴四邊形ABCD是菱形，
∴OC⊥AB，即（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）⊥（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），故D正確．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．