Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點B（0，-2）及左焦點F₁的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點為F₂．
（1）求橢圓的方程；
（文科）（2）求弦長CD．
（理科）（2）求△CDF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（2）F₁（-1，0），可得直線BF₁的方程為y=-2x-2，與橢圓方程聯立可得：9x²+16x+6=0．設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用根與系數的關系可得：|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|．=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．求出點F₂到直線BF₁的距離d，可得S△CDF₂=$\frac{1}{2}$|CD|•d．

解答 解：（1）由題意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯立解得b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1．
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）∵F₁（-1，0），
∴直線BF₁的方程為y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-2\\ \frac{x2}{2}+y2=1\end{array}$得9x²+16x+6=0．
∵△=16²-4×9×6=40＞0，
∴直線與橢圓有兩個公共點，
（文科）設為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），x₁+x₂=$-\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{2}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{256}{81}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{10}{9}$$\sqrt{2}$，
（理科）設為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），x₁+x₂=$-\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{2}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{256}{81}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{10}{9}$$\sqrt{2}$，
又點F₂到直線BF₁的距離d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故S△CDF₂=$\frac{1}{2}$|CD|•d=$\frac{4}{9}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長與面積問題、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．