Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x-2x是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（2x）-4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）求出g（x）的表達式，通過討論b的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而確定b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=e^x+ae^-x-2x是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
即e^-x+ae^x+2x=-（e^x+ae^-x-2x），解得a=-1，
因為f（x）=e^x-e^-x-2x，所以$f'（x）={e^x}+{e^{-x}}-2≥2\sqrt{{e^x}•{e^{-x}}}-2=0$，
當且僅當x=0時，等號成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）
=e^2x-e^-2x-4x-4b（e^x-e^-x-2x）
=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）xg'（x）
=2e^2x+2e^-2x-4b（e^x+e^-x）+（8b-4）
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+4（b-1）]
=2[e^x+e^-x-2][e^x+e^-x-2（b-1）]．…（7分）
①當2（b-1）≤2即b≤2時，g'（x）≥0，等號僅當x=0時成立，
所以g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0，
②當b＞2時，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2b-2，
即$0＜x＜ln（b-1+\sqrt{{b^2}-2b}）$時，g'（x）＜0，
而g（0）=0，因此當$0＜x＜ln（b-1+\sqrt{{b^2}-2b}）$時，g（x）＜0，不符合題意，
綜上知，b的取值范圍是（-∞，2]．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．