Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1-4a_n=2²ⁿ⁺¹，則數(shù)列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}的前n項(xiàng)和為$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到{a_n+2²ⁿ}是以6為首項(xiàng)以4為等比的等比數(shù)列，即可求出a_n的通項(xiàng)公式，繼而得到數(shù)列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}為常數(shù)列，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵a_n+1-4a_n=2²ⁿ⁺¹，
∴a_n+1+2²ⁿ⁺¹=4（a_n+2²ⁿ），
∵a₁+2²=2+4=6，
∴{a_n+2²ⁿ}是以6為首項(xiàng)以4為等比的等比數(shù)列，
∴a_n+2²ⁿ=6×4^n-1，
∴a_n=6×4^n-1-2²ⁿ=$\frac{1}{2}$×4ⁿ，
∴${\frac{a_n}{4^n}}\right.$=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
故答案為：$\frac{n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．