Question

10．己知等差數(shù)列{a_n}，設(shè)其前n項和為S_n，滿足S₅=20，S₈=-4．
（1）求a_n與S_n；
（2）設(shè)c_n=a_na_n+1a_n+2，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，若對任意n∈N⁺，T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求出首項和公差即可求a_n與S_n；
（2）求出c_n=a_na_n+1a_n+2，的值，將T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立轉(zhuǎn)化為求（T_n）_max≤$\frac{m-466}{3}$恒成立即可．

解答 解：（1）∵S₅=20，S₈=-4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=-4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{{2a}_{1}+7d=-1}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=10}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
則a_n=10-3（n-1）=13-3n，
S_n=10n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-3）=$-\frac{3}{2}$n²+$\frac{23n}{2}$．
（2）設(shè)c_n=a_na_n+1a_n+2=（13-3n）（10-3n）（7-3n），
要使若對任意n∈N⁺，T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，
則只要若對任意n∈N⁺，（T_n）_max≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，
則a₁=10，a₂=7，a₃=4，a₄=1，a₅=-2，a₆=-5，a₇=-8，a₈=-11，
則c₁=a₁a₂a₃=280，c₂=a₂a₃a₄=28，c₃=a₃a₄a₅=-8，c₄=a₄a₅a₆=10，c₅=a₅a₆a₇=-80，
則當n≥5時，c_n＜0，
則當n=4時，前四項和最大，
此時T₄=280+28-8+10=310，
則由310≤$\frac{m-466}{3}$得m≥1396，
即實數(shù)m的取值范圍是[1396，+∞）．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，考查學(xué)生的運算能力．