Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求sinα的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用輔助角公式將f（x）化簡為正弦型函數(shù)，利用已知條件分別求出ω，φ的值，即求出f（x）的函數(shù)表達式，將x=$\frac{π}{4}$-α代入求出sinα的值；
（2）利用函數(shù)圖象變換得到g（x）的解析式，再求出[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
又因為f（x）為偶函數(shù)，所以φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z），
又因為0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$，
又因為f（x）的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，所以$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
所以ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=2cos2x，
所以f（$\frac{π}{4}$-α）=2cos（$\frac{π}{2}$-2α）=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，
所以sin2α=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
又因為α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
所以2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
所以cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=-$\frac{1}{8}$，
又因為cos2α=1-2sin²α=-$\frac{1}{8}$，
所以sinα=$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$（舍），
所以sinα=$\frac{3}{4}$；
（2）由（1）可知，f（x）=2cos2x，
所以g（x）=2cos（x-$\frac{π}{3}$），
當2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤π+2kπ（k∈Z）即$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ（k∈Z）時，函數(shù)為減函數(shù)，
又因為x∈[-π，π]，所以減區(qū)間為[-π，-$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{π}{3}$，π]．

點評 （1）本題主要考察了學(xué)生對三角函數(shù)性質(zhì)的掌握，解題關(guān)鍵在于三角恒等變換以及二倍角公式的熟練應(yīng)用；（2）考察了函數(shù)圖象的變換，關(guān)鍵在于學(xué)生對三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間求法的掌握．