Question

16．若函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+ln（x-1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （-∞，4）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x＞1上恒成立即可．

解答 解：f（x）的定義域是（1，+∞），
f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，
若f（x）在（1，+∞）遞增，
則a≤$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
g′（x）=$\frac{x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故g（x）在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故g（x）≥g（2）=4，
故a≤4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．