Question

8．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（1，0），在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是$\frac{3π}{16}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出點(diǎn)M的關(guān)系式，再利用不等式組表示的可行域，通過面積為測度，即可求出概率．

解答 解：設(shè)M（x，y），則點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（1，0），在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|
∴（x-2）²+y²≥2（x-1）²+2y²，可得：
∴x²+y²≤2，
如圖所示，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，直角三角形的高為$\frac{4}{3}$，面積為$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
圓落在三角形內(nèi)的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
∴|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3π}{16}$．
故答案為：$\frac{3π}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查軌跡問題，正確求出M的軌跡是關(guān)鍵．