Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sinπx，x≤0}\\{cos2πx，x＞0}\end{array}\right.$，其圖象在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上至少存在10對(duì)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的值不可能為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 5
• C． $\frac{11}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 將x≤0時(shí)，f（x）的圖象對(duì)稱到y(tǒng)的右側(cè)，與x＞0時(shí)，f（x）=cos2πx的圖象至少存在10個(gè)交點(diǎn)，得到兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$sinπx，其周期為2，x＞0時(shí)，f（x）=cos2πx，其周期為1．
將x≤0時(shí)，f（x）的圖象對(duì)稱到y(tǒng)的右側(cè)，與x＞0時(shí)，f（x）=cos2πx的圖象至少存在10個(gè)交點(diǎn)，得到兩個(gè)函數(shù)的圖象，
如圖所示，由圖象可知，當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)，只有9個(gè)交點(diǎn)，B，C，D均符合題意，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，作出函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．