Question

16．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+2n-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n+n}為等比數(shù)列；
（2）記b_n=a_n+（1-λ）n，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若T₃為數(shù)列{T_n}中的最小項，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2n-1，整理得：a_n+1+n+1=3（a_n+n）．由a_n+n＞0，$\frac{{{a_{n+1}}+n+1}}{{{a_n}+n}}=3$，可知{a_n+n}是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}通項公式及前n項和為T_n，由T₃為數(shù)列{T_n}中的最小項，則對?n∈N^*有$\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ≥39-6λ$恒成立，分類分別求得當n=1時和當n=2λ的取值范圍，
當n≥4時，$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$，利用做差法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵a_n+1=3a_n+2n-1，
∴a_n+1+n+1=3（a_n+n）．
又a₁=2，
∴a_n＞0，a_n+n＞0，
故$\frac{{{a_{n+1}}+n+1}}{{{a_n}+n}}=3$，
∴{a_n+n}是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列    …（4分）
（2）由（1）知道${a_n}+n={3^n}$，b_n=a_n+（1-λ）n，
∴${b_n}={3^n}-nλ$．…（6分）
∴${T_n}={3^1}+{3^2}+…+{3^n}-（1+2+3+…+n）λ=\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ$．…（8分）
若T₃為數(shù)列{T_n}中的最小項，則對?n∈N^*有$\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ≥39-6λ$恒成立，
即3ⁿ⁺¹-81≥（n²+n-12）λ對?n∈N^*恒成立           …（10分）
1°當n=1時，有${T_1}≥{T_3}⇒λ≥\frac{36}{5}$；
2°當n=2時，有T₂≥T₃⇒λ≥9；                       …（12分）
3°當n≥4時，n²+n-12=（n+4）（n-3）＞0恒成立，
∴$λ≤\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$對?n≥4恒成立．
令$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$，則$f（n+1）-f（n）=\frac{{{3^{n+1}}（2{n^2}-26）+162（n+1）}}{{（{n^2}+3n-10）（{n^2}+n-12）}}＞0$對?n≥4恒成立，
∴$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$在n≥4時為單調(diào)遞增數(shù)列．
∴λ≤f（4），即$λ≤\frac{81}{4}$．…（15分）
綜上，$9≤λ≤\frac{81}{4}$．…（16分）

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列與不等式結(jié)合，利用函數(shù)的單調(diào)性，求最值，考查計算能力，屬于難題．