Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x-$\frac{7}{2}$．x∈[0，2]．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（II）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若對任意的x₁∈[0，2]總存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最小值，比較端點(diǎn)處函數(shù)值可得最大值；
（Ⅱ）問題等價(jià)于f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得兩函數(shù)的值域，根據(jù)集合包含關(guān)系可得不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即1＜x≤2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0≤＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$-$\frac{7}{2}$=-4，
∵f（0）=-$\frac{7}{2}$，f（2）=$\frac{8}{4}$-$\frac{6}{4}$-$\frac{7}{2}$-3，
∴f（x）_max=f（2）=-3．
（Ⅱ）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
令g′（x）=0，解得x=a或-a，
當(dāng)a≥1時(shí)，x∈[0，1]，g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[0，1]上為減函數(shù)；
∴g（x）∈[1-3a²-2a，-2a]，
由（Ⅰ）知f（x）∈[-4，-3]，
∵對任意的x₁∈[0，2]總存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3{a}^{2}-2a≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
故a的取值范圍為[1，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分類討論思想轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力，屬于中檔題．