Question

11．設(shè)定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （2+$\frac{1}{ln2}$，+∞）
• C． （3-$\frac{1}{2ln2}$，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）-log₂x為定值，可以設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，對(duì)其求導(dǎo)可得f′（x）；將f（x）與f′（x）代入f（x）+f′（x）=a，求出函數(shù)的最小值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
將f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，代入f（x）+f′（x）=a，
可得log₂x+2+$\frac{1}{xln2}$=a，
設(shè)g（x）=log₂x+2+$\frac{1}{xln2}$，則g′（x）=$\frac{x-1}{x{\;}^{2}ln2}$，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值2+$\frac{1}{ln2}$，
∵方程f（x）+f′（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴a＞2+$\frac{1}{ln2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)是求出f（x）的解析式．