Question

15．如圖所示，在邊長為$5+\sqrt{2}$的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以O(shè)為圓心畫一個圓，M，N，K為切點，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，求圓錐的表面積與體積．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的周長等于扇形弧長，以及正方形的對角線列出方程解出圓和扇形的半徑，得出圓錐的底面半徑，高和母線長．

解答 解：設(shè)圓O的半徑為r，扇形的半徑為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{πR}{2}=2πr}\\{R+r+\sqrt{2}r=（5+\sqrt{2}）•\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得R=4$\sqrt{2}$，r=$\sqrt{2}$，
∴圍成圓錐的底面半徑為$\sqrt{2}$，母線長為l=4$\sqrt{2}$，
∴圓錐的高h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{30}$．
∴圓錐的表面積S=$π×\sqrt{2}×4\sqrt{2}$+$π×（\sqrt{2}）^{2}$=10π．
圓錐的體積V=$\frac{1}{3}×$$π×（\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{30}$=$\frac{2\sqrt{30}π}{3}$．

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，面積與體積計算，屬于中檔題．