Question

4． 如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓O上的一點，過點C作圓O的切線CD，過點A作AD⊥CD于D，交圓O于點E．
（Ⅰ）求證：∠EAC=∠OAC；
（Ⅱ）若CD=$\sqrt{3}$，DE=1，BC=2，求AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用OA=OC，可得∠OAC=∠OCA，證明AD∥OC，可得∠EAC=∠OCA，即可證明∠EAC=∠OAC；
（Ⅱ）證明△CDE∽△ACB，即可求AB的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD是圓O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，∴∠EAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OAC；
（Ⅱ）解：∵AD⊥CD，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2，
∵∠DCE=∠EAC=∠OAC，∠CDE=∠ACB=90°，
∴△CDE∽△ACB，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴AB=$\frac{BC•CE}{DE}$=4．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質，考查圓的切線的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．