Question

9．已知a，b，c，d是不全為零的實數(shù)，函數(shù)f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．若f（x）的零點組成集合A≠∅，g（f（x））的零點組成集合B，A=B．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（r）=0，則g（f（r））=0，即g（0）=0，得出d=0；
（2）f（x）=g（x）=bx²+cx，則g（f（x））=x（bx+c）（b²x²+bcx+c），討論b，c的符號及兩方程根的關系得出b²x²+bcx+c=0無解，從而得出c的范圍．

解答 解：（1）設r為f（x）的一個零點，即f（r）=0，則g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
∴d=0．
（2）當a=0時，f（x）=g（x）=bx²+cx=x（bx+c）．
∴g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0?x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0?x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
當b=0時，c≠0時，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
當b≠0，c=0時，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
當b≠0，c≠0時，方程①的根為x₁=0，x₂=-$\frac{c}$，它們也都是方程②的根，
但它們不是方程b²x²+bcx+c=0的實數(shù)根．則方程b²x²+bcx+c=0無實數(shù)根時，符合題意，
此時△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4，
綜上所述，b=0時，c≠0時，b≠0時，0≤c＜4；

點評 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值，還考查了分類討論思想，轉化思想，屬于中檔題．