分析 由誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)sin2x,代入已知的等式化簡(jiǎn)后,設(shè)t=sin(x+$\frac{π}{4}$),由x的范圍求出x+$\frac{π}{4}$的范圍,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出sin(x+$\frac{π}{4}$)的范圍,代入化簡(jiǎn)后求出t的值,由x+$\frac{π}{4}$得到范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出x的值.
解答 解:sin2x=-cos(2x+$\frac{π}{2}$)=-1+2sin2(x+$\frac{π}{4}$),
代入(2-sin2x)sin(x+$\frac{π}{4}$)=1得,[3-2sin2(x+$\frac{π}{4}$)]sin(x+$\frac{π}{4}$)=1,①
設(shè)t=sin(x+$\frac{π}{4}$),
由x∈[0,$\frac{π}{2}$]得,x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],則t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],
代入①得,(3-2t2)t=1,2t3-3t+1=0,
則2t3-2t-t+1=0,2t(t2-1)-(t-1)=0,即(t-1)(2t2+2t-1)=0,
所以t-1=0或2t2+2t-1=0,解得t=1或t=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
又t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],則t=1,即sin(x+$\frac{π}{4}$)=1,
由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$]得,x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$,得x=$\frac{π}{4}$,
故答案為:$\frac{π}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦的圖象與性質(zhì),三角恒等變換中的公式,高次方程的化簡(jiǎn)以及求解,考查換元法的應(yīng)用,化簡(jiǎn)、變形能力.
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A. | 4-π | B. | 4-2π | C. | 12-π | D. | 14-π |
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A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$ | C. | $\frac{1}{8}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$ |
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