10.若x∈[0,$\frac{π}{2}$],使(2-sin2x)sin(x+$\frac{π}{4}$)=1,則x=$\frac{π}{4}$.

分析 由誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)sin2x,代入已知的等式化簡(jiǎn)后,設(shè)t=sin(x+$\frac{π}{4}$),由x的范圍求出x+$\frac{π}{4}$的范圍,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出sin(x+$\frac{π}{4}$)的范圍,代入化簡(jiǎn)后求出t的值,由x+$\frac{π}{4}$得到范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出x的值.

解答 解:sin2x=-cos(2x+$\frac{π}{2}$)=-1+2sin2(x+$\frac{π}{4}$),
代入(2-sin2x)sin(x+$\frac{π}{4}$)=1得,[3-2sin2(x+$\frac{π}{4}$)]sin(x+$\frac{π}{4}$)=1,①
設(shè)t=sin(x+$\frac{π}{4}$),
由x∈[0,$\frac{π}{2}$]得,x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],則t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],
代入①得,(3-2t2)t=1,2t3-3t+1=0,
則2t3-2t-t+1=0,2t(t2-1)-(t-1)=0,即(t-1)(2t2+2t-1)=0,
所以t-1=0或2t2+2t-1=0,解得t=1或t=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
又t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],則t=1,即sin(x+$\frac{π}{4}$)=1,
由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$]得,x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$,得x=$\frac{π}{4}$,
故答案為:$\frac{π}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦的圖象與性質(zhì),三角恒等變換中的公式,高次方程的化簡(jiǎn)以及求解,考查換元法的應(yīng)用,化簡(jiǎn)、變形能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)已知點(diǎn)Q(2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與點(diǎn)P的軌跡C相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),當(dāng)△QEF的面積最大時(shí),求直線l的方程;
(3)過(guò)直線l′:3x+4y+14=0上一點(diǎn)R引點(diǎn)P的軌跡C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí),求MN所在直線的方程.

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15.試證直徑上的圓周角為直角.

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2.已知某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示,則此三棱錐的體積為(  )
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$C.$\frac{1}{8}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{8}$

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20.為了解班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師課堂教學(xué)的滿(mǎn)意程度情況.現(xiàn)從某班全體學(xué)生中,隨機(jī)抽取12名,測(cè)試的滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)(百分制)如莖葉圖所示:
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(Ⅰ)從這12名學(xué)生中任選3人進(jìn)行測(cè)試,求至少有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率;
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