Question

19．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x³-2x+3，求f（x）的解析式，并指出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可求出函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系研究單調(diào)性即可．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
當(dāng)x∈（0，+∞），則-x∈（-∞，0），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x³-2x+3，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（-x）=x³+2x+3=-f（x），
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=-x³-2x-3，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-2x+3，}&{x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{-{x}^{3}-2x-3，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x³-2x+3，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²-2＜0，則函數(shù)此時(shí)為減函數(shù)，且此時(shí)f（x）＞3，
∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在整個(gè)定義域（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞），無(wú)遞增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．