Question

19．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），若a₁=1，a_n+1=2S_n+1，則S₅=121．

Answer 1

分析 由已知結合數(shù)列遞推式求得a₂，以n-1替換n得a_n=2S_n-1+1（n≥2），與原遞推式聯(lián)立可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，進一步說明數(shù)列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式作差得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）．
又由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，得a₂=3，滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
則${S}_{5}=\frac{1×（1-{3}^{5}）}{1-3}$=121．
故答案為：121．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，考查等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．