Question

4．已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若平面PDC與平面ABCD成45°角，求證：MN⊥面PCD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線得到線線平行，進一步可證線面平行．，利用線線垂直進一步轉(zhuǎn)化成線面垂直．
（2）利用線面垂直，可證線面垂直，進而利用MN∥AE，即可證明MN⊥CD．
（3）由題意可得∠PDA=45°，進而可證AE⊥PD，由MN∥AE，可證MN⊥PD，進而可證MN⊥面PCD．

解答 解：（1）證明：如圖，取PD的中點E，連接AE，NE．
E、N分別為PD，PC的中點，
所以：EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
又M為AB的中點，
所以：AM=$\frac{1}{2}$CD，AM∥CD，
EN∥AM，EN=AM，
所以：四邊形AMNE為平行四邊形．
MN∥AE，
所以：MN∥平面PAD，
（2）因為：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以：PA⊥CD，
因為：CD⊥AD，AD交PA于A，
所以：CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
所以：CD⊥AE，
因為：MN∥AE，
則：MN⊥CD．
（3）當∠PDA=45°時，Rt△PAD為等腰直角三角形，
則AE⊥PD，
又因為：MN∥AE，
所以：MN⊥PD，PD∩CD=D，
所以：MN⊥面PCD．

點評 本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．