Question

20．如圖，AB⊥BB₁，AN∥BB₁，AB=BC=AN=$\frac{1}{2}$BB₁=4，四邊形BB₁C₁C為矩形，且平面BB₁C₁C⊥平面ABB₁N．
（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）設(shè)θ為直線C₁N與平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上求一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB₁，求$\frac{BP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （I）取BB₁的中點(diǎn)D，連結(jié)ND，利用勾股定理的逆定理證明BN⊥NB₁，由面面垂直得出B₁C₁⊥平面ABB₁N，故而B₁C₁⊥BN，于是BN⊥平面C₁B₁N；
（II）以B為原點(diǎn)，以BA，BB₁，BC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{N{C}_{1}}$與平面CNB₁的法向量$\overrightarrow{n}$，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|；
（III）設(shè)P（0，0，a），令$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=0解出a即可得出BP，PC的值．

解答 證明：（I）取BB₁的中點(diǎn)D，連結(jié)ND，
則AN$\stackrel{∥}{=}$BD，又AB⊥BB₁，AB=AN，
∴四邊形ABDN是正方形．
∴DN=AB=4，B₁D=4，∴BN=4$\sqrt{2}$，B₁N=4$\sqrt{2}$，
∴BN²+B₁N²=BB₁²，∴BN⊥B₁N．
∵四邊形BB₁C₁C為矩形，∴B₁C₁⊥BB₁，
又平面BB₁C₁C⊥平面ABB₁N，平面BB₁C₁C∩平面ABB₁N=BB₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁N，∵BN?平面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN．
又B₁C₁?平面C₁B₁N，B₁N?平面C₁B₁N，B₁C₁∩B₁N=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．
（II）∵B₁C₁⊥平面ABB₁N，BC∥B₁C₁，
∴BC⊥平面ABB₁N，
∴BA，BB₁，BC兩兩垂直．
以B為原點(diǎn)，以BA，BB₁，BC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則B₁（0，8，0），N（4，4，0），C（0，0，4），C₁（0，8，4）．
∴$\overrightarrow{N{B}_{1}}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，8，-4），$\overrightarrow{N{C}_{1}}$=（-4，4，4）．
設(shè)平面NCB₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{N{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4x+4y=0}\\{8y-4z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{N{C}_{1}}$=8，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{N{C}_{1}}$|=4$\sqrt{3}$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{N{C}_{1}}$＞=$\frac{8}{\sqrt{6}×4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴sinθ=cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{N{C}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（III）M（2，0，0），設(shè)P（0，0，a），則$\overrightarrow{MP}$=（-2，0，a），
∵M(jìn)P∥平面CNB₁，∴$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=2a-2=0，解得a=1．
∴當(dāng)PB=1時(shí)，MP∥平面CNB₁，此時(shí)$\frac{BP}{PC}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．