Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）奇偶性并證明；
（Ⅱ）用單調(diào)性定義證明函數(shù)g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在函數(shù)f（x）定義域內(nèi)單調(diào)遞增，并判斷f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$在定義域內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，再根據(jù)f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，求得 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）內(nèi)為增函數(shù)．令g（x）=t，則f（x）=log₂t，故本題即求函數(shù)t在（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性相同，由此得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得-1＜x＜1，故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
再根據(jù)f（-x）=${log}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-log₂$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，∵g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（1{-x}_{1}）•（1{-x}_{2}）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0，∴g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）內(nèi)為增函數(shù)．
令g（x）=t，則f（x）=log₂t，故f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性與t的單調(diào)性相同，
由于t在定義域（-1，1）內(nèi)但地遞增，故f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)的單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．