Question

11．某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售Q（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q=$\frac{3x+1}{x+1}$（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)元此產(chǎn)品仍需再投入32萬(wàn)元，若每件銷售價(jià)為“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和．
（1）試將年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬(wàn)元，若每件售價(jià)為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和，可建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用換元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q+3）萬(wàn)元，
每萬(wàn)件銷售價(jià)為$\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%$，（2分）
∴年銷售收入為$（{\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%}）•Q$=$\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x$，（4分）
∴年利潤(rùn)$W=\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x-（32Q+3）-x$=$\frac{1}{2}（32Q+3-x）=\frac{{-{x^2}+98x+35}}{2（x+1）}（x≥0）$．（6分）
（2）令x+1=t（t≥1），則$W=\frac{{-{{（t-1）}^2}+98（t-1）+35}}{2t}=50-（{\frac{t}{2}+\frac{32}{t}}）$．（8分）
∵t≥1，∴$\frac{t}{2}+\frac{32}{t}≥2\sqrt{\frac{t}{2}•\frac{32}{t}}=8$，即W≤42，（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{t}{2}=\frac{32}{t}$，即t=8時(shí)，W有最大值42，此時(shí)x=7．
即當(dāng)年廣告費(fèi)為7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大值為42萬(wàn)元．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用利潤(rùn)=收入-成本，得到年利潤(rùn)的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．