Question

13．已知邊長為1的正方體內接于半球體，即正方體的頂點中，有四點在球面上，另外四點在半球體的底面圓內，則半球體的體積為（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\sqrt{6}π$
• C． $\frac{{\sqrt{6}π}}{2}$
• D． $4\sqrt{6}π$

Answer 1

分析 根據題意，球心O為正方體的底面ABCD的中心，由正方體的性質與勾股定理算出球半徑R=3，再利用球的體積公式加以計算，可得該半球的體積．

解答 解：設正方形ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圓上，
則球心O為ABCD的中心，連結OA'
∵正方體的一邊長為1，
∴A0=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A'O=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即半球的半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此，半球的體積V=$\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$π
故選：C．

點評 本題給出正方體內接于半球內，在已知正方體棱長的情況下求半球的體積，著重考查了正方體的性質、勾股定理和球的體積公式等知識，屬于中檔題．