Question

6．已知點(diǎn)（2，9）在函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）圖象上，對(duì)于函數(shù)y=f（x）定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結(jié)論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0；
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 求出指數(shù)函數(shù)的解析式，利用指數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)判斷①、②，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷③，根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式判斷④．

解答 解：∵點(diǎn)（2，9）在函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）圖象上，
∴a²=9，解得：a=3，
∴f（x）=3^x，
∴①f（x₁+x₂）=${3}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}}$•${3}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），故①正確；
②f（x₁•x₂）=${3}^{{x}_{1}{•x}_{2}}$≠f（x₁）+f（x₂），故②錯(cuò)誤；
③a=3＞1，f（x）在R遞增，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故③錯(cuò)誤；
④$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{3}^{{x}_{1}}{+3}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{3}^{{x}_{1}}{•3}^{{x}_{2}}}}{2}$=${3}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
故④正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了指數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．