Question

17．若{a_n}為等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，且${S_{11}}=\frac{22}{3}π，\{{b_n}\}$為等比數(shù)列，且b_n＞0，${b_5}•{b_7}=\frac{π^2}{4}$，則tan（a₆+b₆）的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $±\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． ±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得a₆，由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得b₆，代入tan（a₆+b₆），化切為弦得答案．

解答 解：∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴${S}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=\frac{11×2{a}_{6}}{2}=11{a}_{6}=\frac{22π}{3}$，
得${a}_{6}=\frac{2π}{3}$，
由$_{5}•_{7}={_{6}}^{2}=\frac{{π}^{2}}{4}$，得$_{6}=\frac{π}{2}$．
故tan（a₆+b₆）=$tan（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）=\frac{sin（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）}{cos（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）}=\frac{cos\frac{2π}{3}}{-sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．