Question

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的大��；
（2）若a=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由已知利用三角形面積公式可得bc=6，由余弦定理可得b+c=5，即可得解三角形的周長．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵a=$\sqrt{7}$，A=$\frac{π}{3}$，由三角形面積公式可得：$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得bc=6，
∴由余弦定理可得：b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=7，即b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-18=7，
∴解得：b+c=5，
∴三角形的周長為a+b+c=5+$\sqrt{7}$…12分

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．