Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]上至少含有8個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)g（x）在[0，b]上至少含有8個(gè)零點(diǎn)，求得b的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）+1=2sin2x+1的圖象，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有8個(gè)零點(diǎn)，
令g（x）=0，求得sin2x=-$\frac{1}{2}$，即2x=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x=2kπ+$\frac{11π}{6}$ k∈Z，
即x=kπ+$\frac{7π}{12}$，或x=kπ+$\frac{11π}{12}$，
故k=0，1，2，3，故b的最小值即函數(shù)g（x）的第8個(gè)零點(diǎn)（從小到大排列），即 3π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{47π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．