Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：,其中為實數(shù)，為正整數(shù)．

（1）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；

（2）對于給定的實數(shù)，試求數(shù)列的前項和；

（3）設(shè)，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 當(dāng), ；當(dāng)時,；

(3) 當(dāng)時,得,不存在實數(shù)滿足要求；

當(dāng)時,存在實數(shù),其取值范圍是

【解析】

(1)代入求證明矛盾即可.
(2) 由,代入可得再分情況與的情況進(jìn)行討論即可.

(3)由第(2)問求得的,代入再參變分離求解即可.

(1)假設(shè)存在一個實數(shù),使是等比數(shù)列,,

由,分別令有,

.又

即,矛盾,

所以不是等比數(shù)列.

(2)因為

,又,

所以當(dāng),,此時.

當(dāng)時,,,

此時,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.

(3)要使對任意正整數(shù)成立，

則，∴

得.

令,則當(dāng)為正奇數(shù)時,；當(dāng)為正偶數(shù)時,,

的最大值為,的最小值為.

故,即

當(dāng)時,得,不存在實數(shù)滿足要求；

當(dāng)時,存在實數(shù),使得對任意正整數(shù),都有成立,且的取值范圍是