Question

【題目】試確定平面上是否存在滿足下述條件的兩個不相交的無限點(diǎn)集、：

（1）在中，任何三點(diǎn)不共線，且任何兩點(diǎn)的距離至少為1；

（2）任何一個頂點(diǎn)在中的三角形，其內(nèi)部均存在一個中的點(diǎn)，任何一個頂點(diǎn)在中的三角形，其內(nèi)部均存在一個中的點(diǎn).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不存在這樣的集合、.

用反證法證明.

定義集合中的“凸五點(diǎn)組”為：一個凸多邊形，其頂點(diǎn)全部為集合中的點(diǎn)，且其內(nèi)部和邊界上一共恰有集合中的五個點(diǎn).

因為無限點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)之間距離至少為1，所以，存在一個邊長一定的正方形中至少存在點(diǎn)集中的有限（至少五個）多個點(diǎn).

設(shè)這有限個點(diǎn)的凸包為邊形.

考慮內(nèi)部.

若其內(nèi)部沒有點(diǎn)集中的點(diǎn)，則凸邊形比原圖形少一個點(diǎn)，其內(nèi)部點(diǎn)一樣；若內(nèi)部有點(diǎn)集中的點(diǎn)，考慮這些點(diǎn)和、的凸包為，則凸多邊形和其內(nèi)部的點(diǎn)比原圖形少一個點(diǎn)（點(diǎn)）.依次類推，知道得到凸五點(diǎn)組.

在上面這個有限區(qū)域中，考慮一個凸五點(diǎn)組.

1.這個凸五點(diǎn)組的凸包為凸五邊形.則在、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn)，分別為、、，故中有點(diǎn)集中的點(diǎn)，其在內(nèi)部，這與為凸五點(diǎn)組矛盾.

2.這個凸五點(diǎn)組的凸包為凸四邊形，內(nèi)部有點(diǎn).則在、、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn)，分別為、、、.若四邊形為凸四邊形，則、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、，它們至少有一點(diǎn)不同于.若為中包含，則、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、，它們至少有一點(diǎn)不同于.這均與為凸五點(diǎn)組矛盾.

3.這個凸五點(diǎn)組的凸包為，內(nèi)部有點(diǎn)、.則在、、、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn)，分別為、、、、.若為凸五邊形，則、、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、、，它們互不相同，至少有一點(diǎn)不同于、.若不為凸五邊形，則其中一定有一個含于另三點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，不放設(shè)中包含點(diǎn)，故、、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、、，它們至少有一點(diǎn)不同于、.這均與為凸五點(diǎn)組矛盾.

綜上，這樣的無限點(diǎn)集不存在.