【題目】試確定平面上是否存在滿足下述條件的兩個不相交的無限點(diǎn)集、:
(1)在中,任何三點(diǎn)不共線,且任何兩點(diǎn)的距離至少為1;
(2)任何一個頂點(diǎn)在中的三角形,其內(nèi)部均存在一個中的點(diǎn),任何一個頂點(diǎn)在中的三角形,其內(nèi)部均存在一個中的點(diǎn).
【答案】見解析
【解析】
不存在這樣的集合、.
用反證法證明.
定義集合中的“凸五點(diǎn)組”為:一個凸多邊形,其頂點(diǎn)全部為集合中的點(diǎn),且其內(nèi)部和邊界上一共恰有集合中的五個點(diǎn).
因為無限點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)之間距離至少為1,所以,存在一個邊長一定的正方形中至少存在點(diǎn)集中的有限(至少五個)多個點(diǎn).
設(shè)這有限個點(diǎn)的凸包為邊形.
考慮內(nèi)部.
若其內(nèi)部沒有點(diǎn)集中的點(diǎn),則凸邊形比原圖形少一個點(diǎn),其內(nèi)部點(diǎn)一樣;若內(nèi)部有點(diǎn)集中的點(diǎn),考慮這些點(diǎn)和、的凸包為,則凸多邊形和其內(nèi)部的點(diǎn)比原圖形少一個點(diǎn)(點(diǎn)).依次類推,知道得到凸五點(diǎn)組.
在上面這個有限區(qū)域中,考慮一個凸五點(diǎn)組.
1.這個凸五點(diǎn)組的凸包為凸五邊形.則在、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn),分別為、、,故中有點(diǎn)集中的點(diǎn),其在內(nèi)部,這與為凸五點(diǎn)組矛盾.
2.這個凸五點(diǎn)組的凸包為凸四邊形,內(nèi)部有點(diǎn).則在、、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn),分別為、、、.若四邊形為凸四邊形,則、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、,它們至少有一點(diǎn)不同于.若為中包含,則、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、,它們至少有一點(diǎn)不同于.這均與為凸五點(diǎn)組矛盾.
3.這個凸五點(diǎn)組的凸包為,內(nèi)部有點(diǎn)、.則在、、、、中均存在點(diǎn)集中的點(diǎn),分別為、、、、.若為凸五邊形,則、、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、、,它們互不相同,至少有一點(diǎn)不同于、.若不為凸五邊形,則其中一定有一個含于另三點(diǎn)構(gòu)成的三角形中,不放設(shè)中包含點(diǎn),故、、中有點(diǎn)集中的點(diǎn)、、,它們至少有一點(diǎn)不同于、.這均與為凸五點(diǎn)組矛盾.
綜上,這樣的無限點(diǎn)集不存在.
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