Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)且.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，，若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，最后寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可. (2)第(2)問(wèn)，對(duì)m分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性.(3)第(3)問(wèn)，由題得，再求出代入化簡(jiǎn)即得m的取值范圍.

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)，，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，

即.

（2）且,

()當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

故在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；

()當(dāng)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

且,故時(shí),；

時(shí)，

時(shí),.

故在區(qū)間上均為單調(diào)增函數(shù),

在區(qū)間上為減函數(shù).

綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，

又

，

在上為增函數(shù).

.

依題意有

故的取值范圍為.