Question

2．若在區(qū)間[0，4]上任取一個(gè)數(shù)m，則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx在R上是單調(diào)增函數(shù)的概率是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，本題屬于幾何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的區(qū)域長(zhǎng)度以及滿足條件的m的范圍對(duì)應(yīng)的區(qū)域長(zhǎng)度，利用幾何概型概率公式可求．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx，
∴f′（x）=x²-2x+m，∴導(dǎo)函數(shù)為拋物線，開口向上，
∵要使f（x）在R上單調(diào)，
∴f'（x）=x²-2x+m≥0在R上恒成立，即m≥-x²+2x在R上恒成立，
∴m大于等于-x²+2x的最大值即可，
∵-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，
∴m≥1，
∵m≤4，∴1≤m≤4，長(zhǎng)度為3，
∵區(qū)間[0，4]上任意取一個(gè)數(shù)m，長(zhǎng)度為4，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx是R上的單調(diào)函數(shù)的概率是$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確把握導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是關(guān)鍵．