Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用余弦定理求得$\frac{^{2}}{2}$=2b，由此求得b的值．
（Ⅱ）根據(jù)a=6，b=4，a²-c²=2b，求得c=2$\sqrt{7}$，余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再根據(jù)△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∵已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC
∴a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=3•c•$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，∴2（a²-c²）=b²，∴$\frac{^{2}}{2}$=2b，∴b=4．
（Ⅱ）∵a=6，b=4，a²-c²=2b，∴c=2$\sqrt{7}$，∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．