Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求a_n．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，兩邊取倒數(shù)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
解得a_n=$\frac{2}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、“取倒數(shù)法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．