Question

9．已知圓的方程為x²+y²-2ax-4ay+$\frac{9{a}^{2}}{2}$=0（a＞0）．
（1）求證：無論a取任何實數值，上述圓的圓心在同一直線上；
（2）試證明無論a取任何實數值，上述圓都有公切線，并求出公切線方程．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程化為標準方程，求得圓心和半徑，即可得出結論；
（2）由（1）可知圓的公切線與y=2x平行，根據切線的性質列方程得出切線方程．

解答 證明：（1）將圓的方程化為標準方程得（x-a）²+（y-2a）²=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
∴圓的圓心為（a，2a）．
∴無論a取任何實數，圓心都在直線y=2x上．
（2）由于不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線y=2x上．
又半徑均r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則存在兩條公切線，且與直線y=2x平行，相距為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
設公切線方程為y=2x+t，
由d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
解得t=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，（a＞0），
∴圓的公切線方程為y=2x+$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，或y=2x-$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，（a＞0）．

點評 本題考查圓的一般式方程和標準方程的互化，圓的圓心和半徑的求法，以及圓的公切線方程的求法，屬于中檔題．