Question

17．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=8
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點(diǎn)，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得y₁+y₂+p=8，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x，利用直線l為拋物線C的切線，求出b，再利用向量的數(shù)量積公式求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，利用配方法可求最小值．

解答 解：（1）由題可知F（0，$\frac{p}{2}$），則該直線方程為：y=x+$\frac{p}{2}$，…（1分）
代入x²=2py（p＞0）得：x²-2px-p²=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=2p…（3分）
∵|MN|=8，∴y₁+y₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴拋物線的方程為：x²=4y．…（5分）
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入x²=4y，得x²-4x-4b=0，
∵l為拋物線C的切線，∴△=0，
解得b=-1，∴l(xiāng)：y=x-1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=4，x₁x₂=-4
設(shè)P（m，m-1），則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（x₁-m，y₁-m+1）•（x₂-m，y₂-m+1）=（x₁-m）（x₂-m）+（x₁-m+2）（x₂-m+2）
=2x₁x₂+（2-2m）（x₁+x₂）+（2-m）²=（m-6）²-32，
∴m=6時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，5）時(shí)，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值為-32．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．