Question

18．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，$AC=\sqrt{7}$，$∠ABC=\frac{2π}{3}$，$∠ACD=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求sin∠BAC；
（Ⅱ）求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式可求cos∠CAD，從而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠CAD，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=BC²+BA²-2BC•BAcosB，
即BC²+BC-6=0，解得：BC=2，或BC=-3（舍），（3分）
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sinB}⇒sin∠BAC=\frac{BCsinB}{AC}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：$cos∠CAD=sin∠BAC=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，$sin∠CAD=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以$sinD=sin（{∠CAD+\frac{π}{3}}）=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}×\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{21}}}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，（9分）
由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sinD}⇒DC=\frac{ACsin∠CAD}{sinD}=\frac{{\sqrt{7}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}}}{{\frac{{5\sqrt{7}}}{14}}}=\frac{{4\sqrt{7}}}{5}$．（12分）
（其他方法相應(yīng)給分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．