【題目】給定二次函數(shù).

（1）證明：方程的根也一定是方程的根；

（2）找出方程有4個不等實根的充要條件.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）設是方程的根（不動點），則. ①

代入方程，有左邊（由①）（由①）右邊.

這表明也是方程的根.

（2）必要性.由上證，二次方程 ②的根，都是四次方程 ③的根，所以，方程③有四個不等實根時，其中有兩個不等實根是由②得到的.由此得出結論：

二次方程②的判別式大于0，即. ④

方程③所對應的四次多項式一定含有二次因式.這提示我們作定向分解，并找出的另一個二次因式.

由

.

可見，為使方程③有四個不等實根，二次方程

⑤

應有判別式大于0，即

. ⑥

將④、⑥合并，得方程③有四個不等實根的必要條件為. ⑦

充分性.若⑦成立，則④、⑥均成立，方程②、⑤均有兩個不等實根.又若存在是方程②、⑤的公共根，則有.代入方程②，得.

故，矛盾.

從而，方程③有四個不等實根.

綜上所述，方程有四個不等實根的充分必要條件是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若,討論的單調性;

（2）若在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍 .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)對設備進行升級改造，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項指標值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設備改造后的頻數(shù)分布表.

表1，設備改造后樣本的頻數(shù)分布表:

質量指標值

頻數(shù)

2

18

48

14

16

2

（1）請估計該企業(yè)在設備改造前的產(chǎn)品質量指標的平均數(shù)；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元，質量指標值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價180元，其它的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率，現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設其支付的費用為X（單位：元），求X得分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點恰好圍成一個面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設橢圓的左右頂點分別為、，右焦點為，是橢圓上異于，的動點，直線與橢圓在點處的切線交于點，當點運動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】籃球場上有5個人在練球，其戰(zhàn)術是由甲開始發(fā)球（第1次傳球），經(jīng)過6次傳球跑動后（中途每人的傳接球機會均等），回到甲，由甲投3分球，其不同的傳球方式有（ ）種.

A. 4 100 B. 1 024 C. 976 D. 820

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知n為給定的正整數(shù)，t為給定的實數(shù)，設(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.

（1）當n=8時.

①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值；

②若t=，求數(shù)列{an}中的最大值；

（2）若t=，當時，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖象的一個對稱中心是，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若對任意，當時，都有，求實數(shù)的最大值；

（3）若對任意實數(shù)在上與直線的交點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在五面體中，四邊形為菱形，且，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）當時，證明：，

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