Question

3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1，則$\frac{4y-\frac{c}{a}}{x+\frac{c}}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{3}$]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$]
• C． [-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$]
• D． [-$\frac{2}{3}$，3]

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，則求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入ax+by+c=0，從而求得$\frac{c}{a}$=-2，$\frac{c}$=2，化簡(jiǎn)$\frac{4y-\frac{c}{a}}{x+\frac{c}}$=$\frac{4y+2}{x+2}$=4（$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$），$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)（-2，-$\frac{1}{2}$）連線的斜率，從而求解．

解答 解：先作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的區(qū)域，
∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1，
∴作出直線2x+y=7和2x+y=1的圖象，
由圖象知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，即直線ax+by+c=0過點(diǎn)A，B；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4-x}\\{y=7-2x}\end{array}\right.$解得，A（3，1）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1-2x}\end{array}\right.$解得，B（1，-1）；
故$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{c}{a}$=-2，$\frac{c}$=2，且b＞0
故$\frac{4y-\frac{c}{a}}{x+\frac{c}}$=$\frac{4y+2}{x+2}$=4（$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$），
而$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P（-2，-$\frac{1}{2}$）連線的斜率，
則PB的斜率最小，PC的斜率最大，
PB的斜率k=$\frac{-1+\frac{1}{2}}{1+2}$=-$\frac{1}{6}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3）
PC的斜率k=$\frac{3+\frac{1}{2}}{1+2}$，
即即-$\frac{1}{6}$≤$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$≤$\frac{7}{6}$，
故-$\frac{2}{3}$≤4（$\frac{y+\frac{1}{2}}{x+2}$）≤$\frac{14}{3}$；
即$\frac{4y-\frac{c}{a}}{x+\frac{c}}$的取值范圍是[-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$]
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值確定直線過A，B，結(jié)合A，B的坐標(biāo)確定a，b，c的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的斜率問題是解決本題的關(guān)鍵．