Question

12．函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（2，f（2））處的切線與直線x+6y+1=0垂直，若數(shù)列|$\frac{1}{f（n）}$|的前n項(xiàng)和為S_n，則滿足S_n＞$\frac{5}{12}$的最小正整數(shù)的是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知列式求得b值，得到函數(shù)解析式，然后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列|$\frac{1}{f（n）}$|的前n項(xiàng)和為S_n，再由S_n＞$\frac{5}{12}$變形整理得到滿足S_n＞$\frac{5}{12}$的最小正整數(shù)．

解答 解：f（x）=x²+bx，得f′（x）=2x+b，
則k=f′（2）=2×2+b=4+b=6，得b=2．
則f（x）=x²+2x，∴f（n）=n²+bn，
${a}_{n}=|\frac{1}{f（n）}|=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2{n}^{2}+6n+4}$＞$\frac{5}{12}$，
化簡(jiǎn)得：2n²-5＞0．
滿足這個(gè)不等式的最小正整數(shù)為2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查數(shù)列不等式的解法，是中檔題．