Question

5．設函數y=f（x），若對?ε＞0，?x₀，使得當x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε，則稱函數y=f（x）具有性質P．下列具有性質P的函數是（　�。�

• A． y=2x
• B． y=2x+$\frac{1}{x}$
• C． y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
• D． y=2^x

Answer 1

分析 利用新定義，分別進行判斷即可得出結論．

解答 解：對于A，|f（x）-x|=|x|值域是[0，+∞），故對?ε＞0，?x₀，使得當x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
對于B，|f（x）-x|=|x+$\frac{1}{x}$|值域是[2，+∞），故對?ε＞0，?x₀，使得當x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
對于C，y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$表示雙曲線在x軸上方的部分，包括與x軸的交點，其漸近線為y=x，故對?ε＞0，?x₀，使得當x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε成立；
對于D，函數y=|2^x-x|圖象如圖所示，函數有最小值y₀，
值域是（y₀，+∞），故對?ε＞0，?x₀，使得當x＞x₀，
恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
故選C．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．