Question

16．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2sin²ωx+2（ω＞0）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為P（-$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求ω的最小值；
（2）當(dāng)ω取最小值時(shí)，試用“五點(diǎn)法”作出y=f（x）的圖象．
（3）當(dāng)ω取最小值時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為P（-$\frac{π}{12}$，1），帶入求ω的值，
（2）根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線的基本步驟，畫出函數(shù)在一個(gè)周期[0，2π]的大致圖象即可．
（3）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．

解答 解：函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2sin²ωx+2（ω＞0）
化簡(jiǎn)得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-1+cos2ωx+2
=2sin（2ωx$+\frac{π}{6}$）+1
根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
對(duì)稱中心（$\frac{kπ-\frac{π}{6}}{2ω}$，1）（k∈Z）
∵函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為P（-$\frac{π}{12}$，1）．
∴$\frac{kπ-\frac{π}{6}}{2ω}$=-$\frac{π}{12}$，（k∈Z）
當(dāng)k=0時(shí)，ω=1最�。�
所以函數(shù)f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+1
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+1，
根據(jù)題意，函數(shù)函數(shù)f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+1，的周期是π，在一個(gè)周期[0，π]內(nèi)，列表如下：

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再用平滑的曲線連接，得出函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：2x$+\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是單調(diào)增區(qū)間，即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x$≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）
對(duì)稱軸方程：2x$+\frac{π}{6}$=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得x=$\frac{1}{2}$$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸方程x=$\frac{1}{2}$$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∵正弦函數(shù)的對(duì)稱中點(diǎn)為（kπ，0）帶入解析式
解得：對(duì)稱中心（$\frac{kπ-\frac{π}{6}}{2ω}$，1）（k∈Z）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫出圖形，是基礎(chǔ)題．