Question

1．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[$\frac{1}{2}$，2]，求實數(shù)a的值．
（2）設(shè)m＜n＜0，試問是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]？若存在，請求出a的取值范圍，并指出m，n所滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)定義域和值域關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時，f（x）=a-$\frac{1}{x}$為增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[$\frac{1}{2}$，2]，
則f（2）=a-$\frac{1}{2}$=2，即a=$\frac{5}{2}$．
（2）當(dāng)x＜0時，f（x）=a+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，
若存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=a+\frac{1}{m}=n}\\{f（n）=a+\frac{1}{n}=m}\end{array}\right.$，
兩式相減得$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-m}{nm}$=n-m，
∵m＜n＜0，∴nm=1，
即此時n，m互為倒數(shù)關(guān)系，
此時a=n-$\frac{1}{m}$=n-$\frac{nm}{m}$=n-n=0，
故存在實數(shù)a=0，使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]，
此時m＜n＜0，nm=1

點評 本題主要考查函數(shù)定義域和值域的考查，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，建立方程組關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．