Question

17．某工廠生產A，B兩種配套產品，其中每天生產x噸A產品，需生產x+2噸B產品．已知生產A產品的成本與產量的平方成正比．經測算，生產1噸A產品需要4萬元，而B產品的成本為每噸8萬元．
（1）求生產A，B兩種配套產品的平均成本的最小值；
（2）若原料供應商對這種小型工廠供貨辦法使得該工廠每天生產A產品的產量x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]范圍內，那么在這種情況下，該工廠應生產A產品多少噸，才可使平均成本最低？

Answer 1

分析 （1）設生產A產品的成本為y₁萬元，生產B產品的成本為y₂萬元，由題意可得y₁=kx²，（k為比例系數），求得k=4，可得生產A，B兩種配套產品的平均成本為y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$，變形為y=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），運用基本不等式即可得到所求最小值；
（2）令t=x+1，則y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，求出導數，判斷單調性，即可得到所求最小值及對應x的值．

解答 解：（1）設生產A產品的成本為y₁萬元，生產B產品的成本為y₂萬元，
由題意可得y₁=kx²，（k為比例系數），
生產1噸A產品需要4萬元，可得k=4．
即有生產A，B兩種配套產品的總成本為4x²+8（x+2），
則生產A，B兩種配套產品的平均成本為y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$
=$\frac{2{x}^{2}+4x+8}{x+1}$=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），
由x＞0，x+1＞0，可得x+1+$\frac{3}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{3}{x+1}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當x+1=$\frac{3}{x+1}$，即x=$\sqrt{3}$-1，取得等號．
即生產A，B兩種配套產品的平均成本的最小值為4$\sqrt{3}$萬元/噸；
（2）由x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]，可得
x+1∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
令t=x+1，則y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
由導數y′=2（1-$\frac{3}{{t}^{2}}$），
可得函數y在[1，$\frac{3}{2}$]遞減，在[3，9]遞增，
當t=$\frac{3}{2}$時，y=2×（$\frac{3}{2}$+2）=7；
當t=3時，y=2×（3+1）=8．
可得該工廠應生產A產品$\frac{1}{2}$噸，才可使平均成本最低．

點評 本題考查函數模型在實際問題中的運用，考查函數的最值的求法，注意運用基本不等式和函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．