Question

已知函數(shù)
（I）求曲線在處的切線方程。
（II）設(shè)如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（I） 
（II）通過(guò)研究函數(shù)的極大值和極小值分別為和，由的單調(diào)性可知，
當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
從而，且方程才有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．即可得證

解析試題分析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：．
曲線在點(diǎn)處的切線方程為 
（II）如果有一切線過(guò)點(diǎn)，則存在使得于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。
記，則 
時(shí)，則在此區(qū)間單調(diào)遞增；
時(shí)，則在此區(qū)間單調(diào)遞減；
時(shí)，則在此區(qū)間單調(diào)遞增；
可求得函數(shù)的極大值和極小值分別為和。
由的單調(diào)性可知，
當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
依題意：且方程才有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
即可得證
考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，方程根的討論。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，通過(guò)求確定處導(dǎo)函數(shù)值，得到切線的斜率，進(jìn)一步可求切線方程。討論方程的根，可通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值情況，認(rèn)識(shí)切線特征，得到解題目的。